25 Aralık 2014 Perşembe

Fibonacci Sayıları


Fibonacci Sayı Dizisi ve Altın Oran

Leonardo Fibonacci, (Pisalı LeonardoLeonardo Pisano d. 1170, ö. 1250),yaygın olarak ismiyle Fibonacci diye anılan, orta çağın en yetenekli matematikçisi olarak kabul edilen İtalyan matematikçi.
Fibonacci modern çağda en fazla Hint-Arap Sayılarını Avrupa'ya getirmesiyle ve 13. yüzyıl başlarında yayınlanan Liber Abaci isimli hesaplama yöntemleri kitabıyla tanınır. Liber Abaci'de bir örnek olarak yer alan modern sayılarla hesaplanmış kendi adıyla anılan sayı dizisi Fibonacci Dizisi olarak anılmaktadır. Sadece Fibonacci dizisi ve özellikleri ile ilgili kitaplar hatta haftalık düzenli yayınlanan matematik dergileri bile bulunmaktadır.
 Araştırmamızı derinleştirdiğimiz zaman gördük ki, Fibonacci sayıları ve bu sayılarla yakından ilişkili olan Altın Oran’ın ilgi çeken ve gizemli denilebilecek daha birçok yönü bulunuyor. Bu nedenle Altın Oran hakkında sizler için daha geniş kapsamlı bir yazı hazırlamayı uygun buldum.

Altın Oran

Fibonacci sayı dizisinin Leoardo Fibonacci tarafından bir 
problemin çözümünde bulunduğunu ve bu sayıların 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 
55, 89, 144,... şeklinde (ilk iki sayı hariç) kendinden önce gelen iki sayının 
toplamı şeklinde ilerlediği görülmektedir. Leonardo Fibonacci’nin tavşanların 
üremesi üzerinde incelediği bu sayı dizisi diğer başka hayvan türlerinde de 
uygulanabilmektedir Aşağıda verilen örnek bal arılarının çoğalmasıyla 
ilgilidir.

• Her erkek arı sadece bir dişiden meydana gelmekte, yani tek 
ailesi bulunmaktadır.
• Her dişi arı ise bir anne ve bir babadan meydana 
gelmekte ve iki ailesi bulunmaktadır.

Bu durumda arıların üreme şemasını 
çıkaracak olursak yandaki biçim ortaya çıkacaktır:




Aile

Büyük
Aile

B.B.
Aile

B.B.B.
Aile

B.B.B.B.
Aile

Erkek
Arı

1

2

3

5

8

Dişi
Arı

2

3

5

8

13

Şemada da görüldüğü gibi oluşan 
sayılar 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987.. 
dizisini, yani Fibonacci sayılarını oluşturmaktadır. 

Eğer bu sayı 
dizisindeki terimleri kendilerinden sonra gelen sayıya bölerek ilerlersek (F1 / 
F2 = 2, F2 / F3 = 1/2... gibi); 


1,000000
0,500000
0,666666
0,600000
0,625000
0,615385
0,619048
0,617647
0,618182
0,617978
0,618056
0,618026
0,618037
0,618033
0,618034
0,618034...

Bu 
yöntemle ilerleyecek ve bu işlemi sonsuza devam ettirecek olursak 0,618033989 
sayısına giderek yaklaşacaktır.

Diğer taraftan, F2/ F1 = 2, F3/F2 = 1,5 
olarak devam edersek, yani dizilim içinde bir sayıyı kendisinden önce gelen 
sayıya bölerek ilerlersek ulaşacağımız sonuç: 1,618 rakamına sürekli yaklaşacak 
şekilde oluşacaktır (bkz. Şekil 1).

Altın Oran olarak tanımlanan 
1,618034 rakamı Altın Bölüm, Altın Sayı gibi ifadelerle tanımlanır. Greek 
alfabesindeki Phi Ø ile gösterilir. 

Peki nedir bu Altın Oran’ın özelliği ? İsterseniz küçük bir örnekle 
eşit büyüklükte iki kareyi yan yana getirelim, sonra bu iki kareye bitişik 
olacak şekilde büyük tek bir kare, çizmiş olduğumuz üç kareye bitişik bir kare 
daha... Bu şekilde kareleri kendilerinden önce komşu oldukları kare sayıları ile 
numaralandırırsak Fibonacci sayı dizisine ulaştığımız görülecektir ve işte 
Fibonacci diktörtgeni karşımızda ve bu dikdörtgenin kenarlarının birbirine oranı 
da Altın Oran’ı vermektedir (bkz. Şekil 2).

Şimdi bu karelerimizi çeyrek 
daireler oluşturacak şekilde köşelerinden birleştirelim. Oluşan şekil aşağıdaki 
gibi olacaktır. Bu spiralin bir özelliği de doğada görülen bir eğime sahip 
olmasıdır.

Birçok matematikçi ve bilim 
insanının yıllar boyu ilgisini çeken ve araştırmalara konu olan bu rakama “altın 
oran”, “kutsal oran”, “mükemmel oran” gibi isimler atfedilmektedir. Bunun nedeni 
bu orana göre yapılan ve yaratılan resimlerin, mimari eserlerin, bir 
dikdörtgenin veya doğada bulunan bir çiçeğin yapraklarının insanın 
algılayabildiği en güzel göz nizamı olmasındandır.

Altın Oran ile doğada 
hemen hemen her yerde karşılaşmaktayız; bitki yapraklarında- tohumlarında, çiçek 
yapraklarında, çam kozalaklarında, deniz kabuklarında, en yakın örneği ise insan 
vücudunda. İnsan boyuna x, göbek deliğinden ayak uçlarına kadar olan bölüme de y 
dersek; göbekten başa kadar olan uzunluk “x-y” olacaktır. Bu durumda ideal yani 
altın orana göre olan insan vücudunun denklemi:
x / y = y / (x – y ) 
olacaktır (1).

Bu formül insanın diğer uzuvları için de geçerlidir. 
Örneğin parmak boğumları, kol oranı, yüz hatlarının oranı gibi. 

Sanatta ve mimaride ise Altın Oranı veren birçok eser bulabilmekteyiz. 
Eski Yunan Mimarisinden Leonardo Da Vinci, Raphael, Rubens, Boticelli gibi ünlü 
ressamlar da resimlerinde Altın Oran’ı kullananların başında 
gelmektedir.

Leonardo Da Vinci’ ye ait olan “The Annonciation” adlı 
yukarıdaki tablonun da gelişi güzel değil, belli bir oran dahilinde yapıldığı 
görülmektedir. Leonardo ve çağdaşlarının o dönem sadece resim ve mimari ile 
uğraşmadığı, çok yönlü, yani matematik, fizik gibi dallarla da yakından ilgili 
olduğu düşünüldüğünde bunu tablolarına yansıtmaları mantıklı durmaktadır. 


Tabloyu belli noktalarından dikey ve yatay olmak üzere iki çizgiyle 
kesersek kenarlarda oluşacak oran 1/1.618 dir. Günümüzde ve geçmişte resim yapma 
tekniğinde altın üçgen, dikdörtgen ve çokgenler sıkça kullanılmıştır 
(2).

Bunun dışında Fibonacci sayı dizisinin ve altın oranın; şiir, müzik 
notaları, ekonomi gibi değişik ve birçok kullanım alanı bulunmaktadır. Aşağıdaki 
örnek bunlardan biri olan mimari alanındandır. Altın Oran’a özellikle eski Yunan 
mimarisinde sıkça rastlamaktayız. 

Grafik çiziminde 
belirtilen noktalar arasında kalan parçaların birbirlerine olan oranı Altın 
Oran’a uymaktadır.(bkz Şekil 3, 4). 

Mısır’daki piramitlerde de bu orana 
rastlanmaktadır. Piramitler hem kendi içlerinde bu kurala uymakta hem de 
birbirleri arasında bu orana uyan spiral içinde belli noktalarda 
konuşlandırıldıkları görülmektedir (bkz. Şekil 3, 4). Günümüzde ise bu orana 
uyan ünlü yapılar arasında Birleşmiş Milletler binası bulunmaktadır.

Ayrıca Altın Oran birtakım firmalarca ürün dizaynı 
aşamasında da kullanılmaktadır. Bunlar sigara paketleri, kredi kartları, bazı 
ambalajlar ve benzerleridir (1).

Fibonacci sayı dizisinin ve Altın 
Oran’ın görüldüğü ve kullanıldığı yerlerin tamamını sizlere aktarmamız için 
oldukça kalın bir kitap çıkarmamız gerekebilir. Bu bakımdan konuyu genel 
itibariyle net olarak açıklayabilecek düzeyde örneklediğimizi düşünüyor ve son 
bir kullanım alanı olarak borsadan örnek vermek istiyorum.

Fibonacci sayılarının bu alanda kullanımı alanı 4 grupta 
incelenebilir: Yay (arc), fan, geri alma çizgileri ve zaman bölgeleri. Fibonacci 
çalışması olarak yorumlanan bu çalışmaların yorumlanması hisse senetlerinin bu 
çizgilere yaklaştığında eğilim değişikliğinde bulunacağı 
doğrultusundadır.

Konunun daha da açıklayıcı olması açısından zaman 
bölgeleri çalışmasına bir örnek vermek istiyorum:

Burada önemli olan 
rakamların 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55... şeklinde Fibonacci sayı dizisinden 
oluşarak bir dik çizgi serisi oluşturmasıdır. Bunun anlamı ise aşağıdaki 
grafikte görüldüğü gibi trendin bu noktalara geldiğinde, belirgin değişimler 
göstermesidir.

Yandaki örnekte, Dow 
Jones Industrial endeksi üzerine çizilen, 
Fibonacci zaman aralıklarını görebilirsiniz. Görüldüğü gibi belirlenen zaman 
çizgilerine yakın yerlerde belirgin değişimler gözlenmektedir (bkz. Şekil 7) 
(3).
Görüldüğü gibi Fibonacci sayı 
dizisinin ve Altın Oran’ın kullanıldığı ve doğada görüldüğü alanlar saymakla 
bitmiyor. İşte tam da bu yüzden, bugüne kadar bu konuda araştırma ve inceleme 
yapmış bilim insanları ona Tanrı’nın dünyayı yaratırken kullandığı oranı 
kastetmek amacıyla Kutsal Oran, İlahi Oran benzetmesini 
yapmışlardır.

Hiç yorum yok:

Yorum Gönder