25 Aralık 2014 Perşembe

Fibonacci Sayıları


Fibonacci Sayı Dizisi ve Altın Oran

Leonardo Fibonacci, (Pisalı LeonardoLeonardo Pisano d. 1170, ö. 1250),yaygın olarak ismiyle Fibonacci diye anılan, orta çağın en yetenekli matematikçisi olarak kabul edilen İtalyan matematikçi.
Fibonacci modern çağda en fazla Hint-Arap Sayılarını Avrupa'ya getirmesiyle ve 13. yüzyıl başlarında yayınlanan Liber Abaci isimli hesaplama yöntemleri kitabıyla tanınır. Liber Abaci'de bir örnek olarak yer alan modern sayılarla hesaplanmış kendi adıyla anılan sayı dizisi Fibonacci Dizisi olarak anılmaktadır. Sadece Fibonacci dizisi ve özellikleri ile ilgili kitaplar hatta haftalık düzenli yayınlanan matematik dergileri bile bulunmaktadır.
 Araştırmamızı derinleştirdiğimiz zaman gördük ki, Fibonacci sayıları ve bu sayılarla yakından ilişkili olan Altın Oran’ın ilgi çeken ve gizemli denilebilecek daha birçok yönü bulunuyor. Bu nedenle Altın Oran hakkında sizler için daha geniş kapsamlı bir yazı hazırlamayı uygun buldum.

Altın Oran

Fibonacci sayı dizisinin Leoardo Fibonacci tarafından bir 
problemin çözümünde bulunduğunu ve bu sayıların 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 
55, 89, 144,... şeklinde (ilk iki sayı hariç) kendinden önce gelen iki sayının 
toplamı şeklinde ilerlediği görülmektedir. Leonardo Fibonacci’nin tavşanların 
üremesi üzerinde incelediği bu sayı dizisi diğer başka hayvan türlerinde de 
uygulanabilmektedir Aşağıda verilen örnek bal arılarının çoğalmasıyla 
ilgilidir.

• Her erkek arı sadece bir dişiden meydana gelmekte, yani tek 
ailesi bulunmaktadır.
• Her dişi arı ise bir anne ve bir babadan meydana 
gelmekte ve iki ailesi bulunmaktadır.

Bu durumda arıların üreme şemasını 
çıkaracak olursak yandaki biçim ortaya çıkacaktır:




Aile

Büyük
Aile

B.B.
Aile

B.B.B.
Aile

B.B.B.B.
Aile

Erkek
Arı

1

2

3

5

8

Dişi
Arı

2

3

5

8

13

Şemada da görüldüğü gibi oluşan 
sayılar 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987.. 
dizisini, yani Fibonacci sayılarını oluşturmaktadır. 

Eğer bu sayı 
dizisindeki terimleri kendilerinden sonra gelen sayıya bölerek ilerlersek (F1 / 
F2 = 2, F2 / F3 = 1/2... gibi); 


1,000000
0,500000
0,666666
0,600000
0,625000
0,615385
0,619048
0,617647
0,618182
0,617978
0,618056
0,618026
0,618037
0,618033
0,618034
0,618034...

Bu 
yöntemle ilerleyecek ve bu işlemi sonsuza devam ettirecek olursak 0,618033989 
sayısına giderek yaklaşacaktır.

Diğer taraftan, F2/ F1 = 2, F3/F2 = 1,5 
olarak devam edersek, yani dizilim içinde bir sayıyı kendisinden önce gelen 
sayıya bölerek ilerlersek ulaşacağımız sonuç: 1,618 rakamına sürekli yaklaşacak 
şekilde oluşacaktır (bkz. Şekil 1).

Altın Oran olarak tanımlanan 
1,618034 rakamı Altın Bölüm, Altın Sayı gibi ifadelerle tanımlanır. Greek 
alfabesindeki Phi Ø ile gösterilir. 

Peki nedir bu Altın Oran’ın özelliği ? İsterseniz küçük bir örnekle 
eşit büyüklükte iki kareyi yan yana getirelim, sonra bu iki kareye bitişik 
olacak şekilde büyük tek bir kare, çizmiş olduğumuz üç kareye bitişik bir kare 
daha... Bu şekilde kareleri kendilerinden önce komşu oldukları kare sayıları ile 
numaralandırırsak Fibonacci sayı dizisine ulaştığımız görülecektir ve işte 
Fibonacci diktörtgeni karşımızda ve bu dikdörtgenin kenarlarının birbirine oranı 
da Altın Oran’ı vermektedir (bkz. Şekil 2).

Şimdi bu karelerimizi çeyrek 
daireler oluşturacak şekilde köşelerinden birleştirelim. Oluşan şekil aşağıdaki 
gibi olacaktır. Bu spiralin bir özelliği de doğada görülen bir eğime sahip 
olmasıdır.

Birçok matematikçi ve bilim 
insanının yıllar boyu ilgisini çeken ve araştırmalara konu olan bu rakama “altın 
oran”, “kutsal oran”, “mükemmel oran” gibi isimler atfedilmektedir. Bunun nedeni 
bu orana göre yapılan ve yaratılan resimlerin, mimari eserlerin, bir 
dikdörtgenin veya doğada bulunan bir çiçeğin yapraklarının insanın 
algılayabildiği en güzel göz nizamı olmasındandır.

Altın Oran ile doğada 
hemen hemen her yerde karşılaşmaktayız; bitki yapraklarında- tohumlarında, çiçek 
yapraklarında, çam kozalaklarında, deniz kabuklarında, en yakın örneği ise insan 
vücudunda. İnsan boyuna x, göbek deliğinden ayak uçlarına kadar olan bölüme de y 
dersek; göbekten başa kadar olan uzunluk “x-y” olacaktır. Bu durumda ideal yani 
altın orana göre olan insan vücudunun denklemi:
x / y = y / (x – y ) 
olacaktır (1).

Bu formül insanın diğer uzuvları için de geçerlidir. 
Örneğin parmak boğumları, kol oranı, yüz hatlarının oranı gibi. 

Sanatta ve mimaride ise Altın Oranı veren birçok eser bulabilmekteyiz. 
Eski Yunan Mimarisinden Leonardo Da Vinci, Raphael, Rubens, Boticelli gibi ünlü 
ressamlar da resimlerinde Altın Oran’ı kullananların başında 
gelmektedir.

Leonardo Da Vinci’ ye ait olan “The Annonciation” adlı 
yukarıdaki tablonun da gelişi güzel değil, belli bir oran dahilinde yapıldığı 
görülmektedir. Leonardo ve çağdaşlarının o dönem sadece resim ve mimari ile 
uğraşmadığı, çok yönlü, yani matematik, fizik gibi dallarla da yakından ilgili 
olduğu düşünüldüğünde bunu tablolarına yansıtmaları mantıklı durmaktadır. 


Tabloyu belli noktalarından dikey ve yatay olmak üzere iki çizgiyle 
kesersek kenarlarda oluşacak oran 1/1.618 dir. Günümüzde ve geçmişte resim yapma 
tekniğinde altın üçgen, dikdörtgen ve çokgenler sıkça kullanılmıştır 
(2).

Bunun dışında Fibonacci sayı dizisinin ve altın oranın; şiir, müzik 
notaları, ekonomi gibi değişik ve birçok kullanım alanı bulunmaktadır. Aşağıdaki 
örnek bunlardan biri olan mimari alanındandır. Altın Oran’a özellikle eski Yunan 
mimarisinde sıkça rastlamaktayız. 

Grafik çiziminde 
belirtilen noktalar arasında kalan parçaların birbirlerine olan oranı Altın 
Oran’a uymaktadır.(bkz Şekil 3, 4). 

Mısır’daki piramitlerde de bu orana 
rastlanmaktadır. Piramitler hem kendi içlerinde bu kurala uymakta hem de 
birbirleri arasında bu orana uyan spiral içinde belli noktalarda 
konuşlandırıldıkları görülmektedir (bkz. Şekil 3, 4). Günümüzde ise bu orana 
uyan ünlü yapılar arasında Birleşmiş Milletler binası bulunmaktadır.

Ayrıca Altın Oran birtakım firmalarca ürün dizaynı 
aşamasında da kullanılmaktadır. Bunlar sigara paketleri, kredi kartları, bazı 
ambalajlar ve benzerleridir (1).

Fibonacci sayı dizisinin ve Altın 
Oran’ın görüldüğü ve kullanıldığı yerlerin tamamını sizlere aktarmamız için 
oldukça kalın bir kitap çıkarmamız gerekebilir. Bu bakımdan konuyu genel 
itibariyle net olarak açıklayabilecek düzeyde örneklediğimizi düşünüyor ve son 
bir kullanım alanı olarak borsadan örnek vermek istiyorum.

Fibonacci sayılarının bu alanda kullanımı alanı 4 grupta 
incelenebilir: Yay (arc), fan, geri alma çizgileri ve zaman bölgeleri. Fibonacci 
çalışması olarak yorumlanan bu çalışmaların yorumlanması hisse senetlerinin bu 
çizgilere yaklaştığında eğilim değişikliğinde bulunacağı 
doğrultusundadır.

Konunun daha da açıklayıcı olması açısından zaman 
bölgeleri çalışmasına bir örnek vermek istiyorum:

Burada önemli olan 
rakamların 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55... şeklinde Fibonacci sayı dizisinden 
oluşarak bir dik çizgi serisi oluşturmasıdır. Bunun anlamı ise aşağıdaki 
grafikte görüldüğü gibi trendin bu noktalara geldiğinde, belirgin değişimler 
göstermesidir.

Yandaki örnekte, Dow 
Jones Industrial endeksi üzerine çizilen, 
Fibonacci zaman aralıklarını görebilirsiniz. Görüldüğü gibi belirlenen zaman 
çizgilerine yakın yerlerde belirgin değişimler gözlenmektedir (bkz. Şekil 7) 
(3).
Görüldüğü gibi Fibonacci sayı 
dizisinin ve Altın Oran’ın kullanıldığı ve doğada görüldüğü alanlar saymakla 
bitmiyor. İşte tam da bu yüzden, bugüne kadar bu konuda araştırma ve inceleme 
yapmış bilim insanları ona Tanrı’nın dünyayı yaratırken kullandığı oranı 
kastetmek amacıyla Kutsal Oran, İlahi Oran benzetmesini 
yapmışlardır.

GAUSS FORMÜLÜ NASIL BULUNDU?

Carl Friedrich Gauss ya da Gauß (30 Nisan 1777 – 23 Şubat 1855), Alman kökenli matematikçi ve bilim insanı. Katkıda bulunduğu alanlardan bazıları; sayılar kuramıanalizdiferansiyel geometrijeodezielektrikmanyetizmaastronomi veoptiktir. "Matematikçilerin prensi" ve "antik çağlardan beri yaşamış en büyük matematikçi" olarak da bilinen Gauss,[1]matematiğin ve bilimin pek çok alanına etkisini bırakmıştır ve tarihin en nüfuzlu matematikçilerinden biri olarak kabul edilir.
Gauss'un çocukluk yıllarından beri dahi olduğunu gösteren pek çok hikâye vardır, nitekim pek çok matematiksel keşfini henüz 20 yaşına gelmeden yapmıştır. Sayılar kuramının önemli sonuçlarını derleyip kendi katkılarını da ekleyerek yazdığı büyük eseri Disquisitiones Arithmeticae'yi 21 yaşında (1798) bitirmişse de, eser ilk olarak 1801'de basılmıştır. Efsaneye göre, Gauss henüz üç yaşındayken, babasının kâğıt üzerinde yaptığı hesapları kafasından kontrol edip düzelterek dehasını belli etti.
Bir başka meşhur hikâyeye göre, Gauss'un ilkokul öğretmeni J.G. Büttner, öğrencilerini oyalamak için 1'den 100'e kadar olan sayıları toplamalarını isteyince, Gauss cevabı birkaç saniye içinde bularak hem öğretmenini, hem de asistanı Martin Bertels'i hayrete düşürdü. Küçük Gauss, sayı listesinin iki zıt ucundan birer sayı alıp topladığında hep aynı sonucun çıktığını farketmişti: (1 + 100) = (2 + 99) = (3 + 98) = ... = (51 + 50) = 101, vs. Böylece 1'den 100'e kadar olan sayıların toplamı 50 × 101 = 5050 oluyordu.

SAYILARIN GİZEMİ

Şaşırtıcı 1. Simetri :

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321



Harikulade 2. Simetri :
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111




Akıllara durgunluk veren 3. Simetri:
9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888




Ve olağanüstü bir 4. simetri:
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111=12345678987654321

İLGİNÇ BİLGİLER


1. Saniyede bir sayı söyleyerek ve günde 7 saat sayarak 1 milyara kadar saymak isteseydik, bunu ne kadar zamanda yapabilirdik?

Cevap: 60 . 60 . 7 . 365=108.7 sene.

2. 9' un 9. kuvvetinin 9. kuvveti, yani, sadece üç rakamla ifade edilebilen en büyük sayıdır. Bu sayıyı henüz kimse hesaplayamadı.

Cevap: 369 milyon basamaklı bir sayıdır.

3. 1729 iki kübün toplamı olarak iki ayrı biçimde ifade edilebilen en küçük sayıdır.
1729=103+93 = 123+ 13
Bunu ilk fark eden Hintli matematikçi Ramanujan' dır. İlginç olan bu işlemi daha sayıyı duyar duymaz zihninden yapmış olmasıdır. Bu sayıya Ramanujan Sayısı denir.

4. 1 ve kendisinden başka sayılara bölünemeyen pozitif sayılara asal sayı denir.En küçük asal sayı 2 dir. Bilinen en büyük asal sayı 2127-1 'dir. Bu sayı 39 basamaklıdır.

5. Googol nedir?
1 den sonra 100 sıfır yazılarak elde edilen sayıya bu ad verilmiştir (yani, 10100). Şimdiye kadar isimlendirilen en büyük sayılardan biridir. Googolplex, googoldan da büyük bir sayıdır. Bir googolplex 1 den sonra bir googol sıfır yazılarak elde edilen sayıdır. Bu sayıyı yazmak için Dünya-Ay arası uzaklığın yetmeyeceğini iddia edenler var.

6.
 Tüm matematik derslerinde en az bir öğrencinin çıkıp "hocam bunlar gerçek hayatta ne işimize yarayacak?" diye sorması.


MATEMATİĞİN KURUCUSU KİMDİR?

Modern matematiğin kurucusu olarak kabul edilen Descartes, bir Fransız matematikçisi, bilimadamı ve filozof. Modern felsefenin babası olarak da bilinir. 1596 yılında Fransa’nın Touraine bölgesinin La Haye şehrinde doğmuştur. Poitiers üniversitesinde hukuk öğrenimi görmüştür. Üniversiteyi bitirdikten sonra bir süre askeri müesseselerde görev almıştır. Daha sonra bir süre Fransa’nın dışına seyahatlerde bulunmuştur. Ardından 1628 yılında Fransa’ya geri döner. Aynı yıl felsefe ve optik üzerine değişik deneyler yapmıştır. Daha sonra, hayatının büyük bölümünü geçireceği Hollanda’ya gitmiştir. Descartes ilk çalışmasını, “Denemeler” isimli eseriyle, felsefe üzerine yapmıştir. Bu eser geometri, optik, meteorlar ve metod şeklinde dört bölümden oluşmaktadır. Descartes 1649 yılında kraliçeyi eğitmek üzere İsveç’e davet edilmiştir. Bir sonraki yıl zatürreden ölmüştür. Descartes bilimin ve özellikle matematiğin tümevarım metodunu felsefeye uygulamaya çalışmıştır. “Cogito, ergo sum”, ” I think, therefore I am” “düşünüyorum öyleyse varım” sözü Descartes’a aittir. Bu noktadan başlayarak her şeyi sorgulamıştır kendi varlığını, yaratıcının varlığını ve yaratıcıya inanma ihtiyacını ifade etmiştir. Descartes bilime ve matematiğe önemli katkılarda bulunmuştur. Optikte yansımanın temel kanununu bulmuştur; geliş açısı gidiş açısına eşittir. Matematiğe olan en büyük katkısı ise analitik geometri üzerine olmuştur. Cebirin geometriye uygulanması üzerine çalışmıştır. Kartezyen geometri ifadesini ortaya atmıştır. Eğrileri onları üreten denklemlere göre sınıflandırmıştır. Alfabenin son harflerini bilinmeyen çokluklar için, ilk harflerini de bilinen çokluklar için kullanmıştır. 

ÜNLÜ MATEMATİKÇİLER

A HARFİ
 
 
 

B HARFİ
 
 
 
 
 



C HARFİ
 
 
 
 





D HARFİ
 
 
 
 





E HARFİ
 




F HARFİ
 





G HARFİ
 
 
 
 
 
 
H HARFİ
 
 


I-İ HARFİ
 




J HARFİ
 
 



L HARFİ
 
 
 
 
 
 
 





M HARFİ
 
 
 
N HARFİ
 
 


P HARFİ
 
 
 
R HARFİ
 
 


S HARFİ
 
 
 
T HARFİ
 
 


W HARFİ